ب م م یا بزرگترین مقسوم علیه مشترک به روش تجزیه درختی اعداد

یکی از روش های محاسبه ب م م یا همان بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد ، تجزیه آنها به روش درختی و نوشتن اعداد به صورت حاصلضرب شمارنده های اول است.

ب م م برابر است با حاصلضرب شمارنده های اول مشترک با کمترین تکرار

مثال : ب.م.م دو عدد ۱۸۰ و ۴۸ را پیدا کنید.

ابتدا باید اعداد ۱۸۰ و ۴۸ رو تجزیه کنیم:

پس از تجزیه این عدد ها می تونیم اون ها رو به صورت حاصلضرب شمارنده های اولشون به صورت زیر بنویسیم:

۱۸۰=۲ × ۲ × ۳ × ۳ × ۵

۴۸=۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۳

همون طوری که میبینید عدد ۱۸۰ دارای شمارنده های ۲ و ۳ و ۵ هست و عدد ۴۸ دارای شمارنده های ۲ و ۳ است. بنابراین شمارنده های ۲ و ۳ مشترک هستند و با شمارنده ۵ اصلا کاری نداریم.

یک باره دیگه جمله اساسی تعیین ب م م رو میگم براتون. ب م م برابر است با حاصلضرب شمارنده های اول مشترک با کمترین تکرار. این جمله سه مرحله مهم داره :

1. شمارنده های مشترک
2. کمترین تکرار
3. حاصلضرب

تا این جای حل ما مرحله اول یعنی شمارنده های مشترک رو پیدا کردیم.

حالا باید بریم سراغ مرحله دوم یعنی کمترین تکرار.

عدد ۱۸۰ دوتا ۲ داره و عدد ۴۸ چهار تا ۲ . ما کمترین تکرار رو انتخاب میکنیم. یعنی دوتا ۲

عدد ۱۸۰ دوتا ۳ داره و عدد ۴۸ یکی ۳ . ما کمترین تکرار رو انتخاب میکنیم، یعنی یکی ۳

مرحله سوم که آخرین مرحله هست آسون ترین هم هست. فقط کافی هرچی که توی مرحله قبل انتخاب کردیم رو در هم ضرب کنیم. باید دوتا ۲ و یکی ۳ رو باهم ضرب کنیم :

۱۲ = ۳×۲×۲ = ب م م دو عدد ۱۸۰ و ۴۸

دیدید چه آسون بود !

پس به صورت خلاصه میگم اول هر دو عدد رو تجزیه میکنیم ، بعد می بینیم از بین شمارنده های مشترک کدوم عدد تکرار کمتری داره. همونا رو انتخاب میکنیم و توی هم ضرب میکنیم.

آهاااااا……… راستی یادم رفت که بگم ب م م دو عدد رو با گذاشتن پرانتز دور عددا نشون میدن. مثلا :

(۴۲ و ۱۰) یعنی ب م م دو عدد ۱۰ و ۴۲

چندتا مثال دیگه میزنم براتون :

با استفاده از روش تجزیه ب م م اعداد داده شده را بدست آورید.

الف – ( ۳۰ و ۵۰ )

پاسخ الف :

ابتدا اعداد را به صورت درختی تجزیه میکنیم :

الان میتونیم اعداد ۳۰ و ۵۰ رو به صورت حاصلضرب شمارنده های اول بنویسیم :

۵۰ = ۲ × ۵ × ۵

۳۰ = ۲ × ۳ × ۵

فقط شمارنده های ۲ و ۵ مشترک هستند. عدد ۲ در ۵۰ و ۳۰ یکبار تکرار شده، پس کمترین حالتش هم همین یک بار هست. اما عدد ۵ در ۵۰ دوبار و در ۳۰ یکبار تکرار شده. کمترین حالت یکبار هستش. بنابراین باید یک عدد ۲ و یک عدد ۵ را در هم ضرب کنیم :

( ۵۰ , ۳۰ ) = ۲ × ۵ = ۱۰

ب – ( ۴۴۱ و ۱۴۷ )

پاسخ ب :

ابتدا اعداد را به صورت درختی تجزیه میکنیم :

الان میتونیم اعداد ۴۴۱ و ۱۴۷ رو به صورت حاصلضرب شمارنده های اول بنویسیم :

۱۴۷ = ۳ × ۷ × ۷

۴۴۱ = ۳ × ۳ × ۷ × ۷

هر دو شمارنده مشترک است. کمترین حالت تکرار عدد ۳ یکبار است که مربوط به عدد ۱۴۷ میشه و کمترین تکرار عدد ۷ نیز یکبار هست چون در هر دو عدد ۱۴۷ و ۴۴۱ عدد ۷ دوبار تکرار شده. بنابراین باید یک عدد ۳ و دو عدد ۷ را درهم ضرب کنیم :

( ۱۴۷ , ۴۴۱ ) = ۳ × ۷ × ۷= ۱۴۷

نکته مهم :

زمانی که پس از تجزیه دو عدد هیچ شمارنده مشترکی بین دو عدد مشاهده نمیشه یعنی بزرگترین شمارنده مشترک دو عدد مساوی با یک است.

کاربرگ مربوط به جمع و تفریق اعدادصحیح...